Наречие поутру (то же, что утром) пишется слитно. Слитное написание определяется лишь письменной традицией и проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю).
Правильно: по возвращении, по прибытии. Предлог по в значении 'после чего-либо' употребляется с предложным падежом.
В значении по «после» верно: по окончании, по истечении.
Если имеется в виду день недели, оба варианта верны.
В большинстве случаев названия рек согласуются с родовым наименованием, т. е. склоняются: по реке Оби, по реке Днепру. Однако малоизвестные названия рек обычно не согласуются. Представляется, что Пур можно отнести к малоизвестным названиям рек, следовательно: по реке Пур.